ガウス積分のまとめ
もっとも基本的なガウス積分は
\begin{equation*} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \end{equation*}である。少し拡張して
\begin{equation} \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}} dx = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \tag{1} \label{ksiwdiik} \end{equation}となる。さらに複数の派生形がある。1つ目は高校数学の範囲で可能なもので、
\begin{equation} \int_{0}^{\infty} x e^{-\alpha x^{2}} dx = \dfrac{1}{2\alpha} \tag{2} \label{oqoajoaa} \end{equation}である。2つ目は\eqref{ksiwdiik}式の両辺を\( \alpha\)について微分して整理すると、
\begin{equation} \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-\alpha x^{2}} dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{4\sqrt{\alpha^{3}}} \tag{3} \label{uewuwwqq} \end{equation}と求まる。3つ目は\eqref{oqoajoaa}式の両辺を\( \alpha \)について微分して整理すると、
\begin{equation*} \int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-\alpha x^{2}} dx = \dfrac{1}{2\alpha^{2}} \end{equation*}と求まる。4つ目は\eqref{uewuwwqq}式の両辺をさらに\( \alpha \)で微分して整理すると、
\begin{equation*} \int_{0}^{\infty} x^{4} e^{-\alpha x^{2}} dx = \dfrac{3}{8}\dfrac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\alpha^{5}}} \end{equation*}と求まる。さらに高次になっても同じようにして計算できる。
補足説明として、
\begin{equation*} \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}} dx = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \end{equation*}の証明を掲載しておこう。簡易的な証明は以下の通りである。
\begin{equation*} I = \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}} dx \end{equation*}とおいて、\( I^{2} \)を計算する。
\begin{equation*} I^{2} = \bigg(\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}} dx\bigg)\bigg(\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}} dx\bigg) \end{equation*}ここで、積分では変数は自由に選択できるという性質から、
\begin{equation*} I = \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha y^{2}} dy \end{equation*}なる関係を利用して、\( I^{2} \)を重積分に置き換えれるというのが、この証明の最も重要なポイントである。つまり、
\begin{equation*} I^{2} = \bigg(\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}} dx\bigg)\bigg(\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha y^{2}} dy\bigg) \end{equation*}と置き換えるのである。これは重積分であり、以下極座標に変換することにより\( I^{2} \)の値を求めることができて
\begin{align*} I^{2} &= \bigg(\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}} dx\bigg)\bigg(\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha y^{2}} dy\bigg) = \int_{0}^{\infty} \! \! \! \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha (x^{2} + y^{2})} dxdy \\ & = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \! \! \! \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha r^{2}} r dr d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{\infty} re^{-\alpha r^{2}} dr \\ &= \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{1}{2\alpha} = \dfrac{1}{4}\dfrac{\pi}{\alpha} \end{align*}と計算できる。これは2乗された値であるから、\( I \)の値は平方根をとることにより求めることができる。よって、
\begin{equation*} I = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} \end{equation*}と証明された。